Question

5．如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，作射線PO，分別交⊙O于點E，C，交AB于點D，∠C=30°，PO=12．
（1）求點P到⊙O的切線PA的長；
（2）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AOP=60°，根據(jù)PA，PB分別切⊙O于點A，B，得到∠OAP=90°，于是得到OA=$\frac{1}{2}$OP=6，根據(jù)勾股定理即可得到結果；
（2）根據(jù)PA，PB分別切⊙O于點A，B，得到PA=PB，∠APO=∠BPO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB⊥OP，求得OD=$\frac{1}{2}$OA=3，AD=3$\sqrt{3}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（1）∵OA=OC，∠C=30°，
∴∠AOP=60°，
∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，
∴∠OAP=90°，
∴∠APO=30°，
∵PO=12，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP=6，
∴PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=6$\sqrt{3}$；

（2）∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∴AB⊥OP，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=3，AD=3$\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=6$\sqrt{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．