Question

【提出問題】
如圖①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于點(diǎn)E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，則梯形ABCD的面積最大是多少？
【探究過程】
小明提出：可以從特殊情況開始探究，如圖②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，則梯形ABCD的面積最大是多少？
如圖③，過點(diǎn)D做DE//AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，那么梯形ABCD的面積就等于△DBE的面積，求梯形ABCD的面積最大值就是求△DBE的面積最大值．如果設(shè)AC＝x，BD＝y(tǒng)，那么S_△DBE＝xy．
以下是幾位同學(xué)的對(duì)話：
A同學(xué)：因?yàn)閥＝，所以S_△DBE＝x，求這個(gè)函數(shù)的最大值即可．
B同學(xué)：我們知道x²＋y²＝100，借助完全平方公式可求S_△DBE＝xy的最大值
C同學(xué)：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S_△DBE就最大，我們先將所有滿足BE＝10的直角△DBE都找出來，然后在其中尋找高最大的△DBE即可．

（1）請(qǐng)選擇A同學(xué)或者B同學(xué)的方法，完成解題過程．
（2）請(qǐng)幫C同學(xué)在圖③中畫出所有滿足條件的點(diǎn)D，并標(biāo)出使△DBE面積最大的點(diǎn)D₁．（保留作圖痕跡，可適當(dāng)說明畫圖過程）
【解決問題】
根據(jù)對(duì)特殊情況的探究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)?jiān)趫D①中畫出面積最大的梯形ABCD的頂點(diǎn)D₁，并直接寫出梯形ABCD面積的最大值．

Answer 1

（1）25；（2）如下圖；（3）如下圖，S_梯形ABCD最大值為：

試題分析：（1）選擇A同學(xué)，由S_△DBE＝＝即可作出判斷；選擇B同學(xué)，根據(jù)三角形的面積公式即可作出判斷；
（2）（3）先根據(jù)題意作出恰當(dāng)?shù)膱D形，即可求得結(jié)果.
（1）選擇A同學(xué)．
S_△DBE＝＝，
當(dāng)x²＝50，即x＝5，S_△DBE取最大值25．
選擇B同學(xué)．
方法一：S_△DBE＝xy＝×2xy≤（x²＋y²）＝25
當(dāng)x＝y(tǒng)＝5時(shí)，S_△DBE取最大值25．
方法二：S_△DBE＝xy＝[（x²＋y²）－（x－y）²]＝ [100－（x－y）²]，
當(dāng)（x－y）²＝0，即x＝y(tǒng)＝5時(shí)，S_△DBE取最大值25；
（2）如圖所示，點(diǎn)D₁即為所求的點(diǎn)

（3）如圖所示：
S_梯形ABCD最大值為：
點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.