Question

如圖13.1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD＝CF，BD⊥CF成立.

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（）時，如圖13.2，BD＝CF成

立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖13.3，延長BD交CF于點G.

① 求證：BD⊥CF；

② 當AB＝4，AD＝時，求線段BG的長.

Answer 1

解（1）BD＝CF成立.

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,

         ∵∠BAD=，

∠CAF=，

∴∠BAD=∠CAF，

∴△BAD≌△CAF.

∴BD＝CF.………………………………（3分）

（2）①證明：設BG交AC于點M.

∵△BAD≌△CAF（已證），∴∠ABM＝∠GCM.

∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG.

∴∠BGC＝∠BAC ＝90°.∴BD⊥CF.……（6分）

②過點F作FN⊥AC于點N.

∵在正方形ADEF中，AD＝，

∴AN＝FN＝.

∵在等腰直角△ABC 中，AB＝4，

∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.

∴在Rt△FCN中，.

∴在Rt△ABM中，.

∴AM＝.

∴CM＝AC－AM＝4－＝， .……（9分）

∵△BMA ∽△CMG，∴.

∴. ∴CG＝.……………………………………（11分）

∴在Rt△BGC中，.  ………………（12分）