Question

觀察下列圖形：

如果按這個(gè)規(guī)律一直排到第n個(gè)圖形，請?zhí)骄肯铝袉栴}：
（1）設(shè)第n個(gè)圖形和第n-1個(gè)圖形中所有三角形的個(gè)數(shù)分別為a_n、a_n-1，問：它們之間有什么數(shù)量關(guān)系？請寫出這個(gè)關(guān)系式．
（2）請你用含n的代數(shù)式來表示a_n，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）在一個(gè)三角形中，若增加一個(gè)小三角形，則原三角形變成了5個(gè)，而①中共有5個(gè)三角形，②中共有17個(gè)三角形，即在5個(gè)的基礎(chǔ)上增加了三個(gè)三角形變成了17個(gè)，進(jìn)而可依據(jù)三角形的個(gè)數(shù)得出其內(nèi)在關(guān)系，即3n+2；
（2）通過推理得出a_n的代數(shù)式，再證明結(jié)論的正確性．

解答：解：（1）按題中圖形的排列規(guī)律可得：an=3a_n-1+2．

（2）由（1）得：an=3a_n-1+2，a_n-1=3a_n-2+2，兩式相減得：
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）①
當(dāng)n分別取3、4、5、n時(shí)，由①式可得下列（n-2）個(gè)等式：
a₃-a₂=3（a₂-a₁），a₄-a₃=3（a₃-a₂），a₅-a₄=3（a₄-a₃），
an-a_n-1=3（a_n-1-a_n-2）．
顯然an-a_n-1≠0，以上（n-2）個(gè)等式的左右兩邊分別相乘約去相同的項(xiàng)后得：
an-a_n-1=3^n-2（a₂-a₁）②
∵a₂-a₁=17-5=12，由（1）又可知a_n-1=

1

3

（a_n-2），
將它們代入②式即得：a_n=2×3ⁿ-1．

點(diǎn)評：本題主要考查了圖形變化的一般規(guī)律問題，能夠通過觀察，掌握其內(nèi)在規(guī)律，并能通過證明得出結(jié)論的正確性．