Question

13．已知：如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°．
（1）求證：AC²=3BC²．
（2）若CD⊥AB于D點(diǎn)，CE是中線，求證：∠BCD=∠DCE=∠ACE．

Answer 1

分析 （1）在直角△ABC中利用三角函數(shù)求得BC與AC的比值，從而證得；
（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余以及等邊三角形的性質(zhì)求得：∠BCD、∠DCE和∠ACE的度數(shù)，即可證得．

解答 證明：（1）∵直角△ABC中，∠A=30°，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{B{C}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即AC²=3BC²；
（2）∵直角△ABC中，∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴直角△BCD中，∠BCD=90°-∠B=90°-60°=30°．
∵CE是直角△ABC的中線，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=BE，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°-∠BCD=60°-30°=30°，∠ACE=∠ACB-∠BCE=90°-60°=30°．
∴∠BCD=∠DCE=∠ACE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定，正確理解直角三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．