Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣x+4與x軸交于點A，B，B點的坐標為（﹣4，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式和對稱軸．
（2）連接AC、BC，在x軸下方的拋物線上求一點M，使△ABM與△ABC的面積相等．
（3）在x軸下方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于點D、E兩點（點D在對稱軸的左側(cè)）．過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為G、F，當矩形DEFG中DE=2DG時，求D點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（﹣4，0）代入y=ax2﹣x+4得16a+4+4=0，解得a=﹣ ，

所以拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣x+4，

拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =﹣1

（2）解：當x=0時，y=﹣ x2﹣x+4=4，則C（0，4），

∵△ABM與△ABC的面積相等，

∴點M的縱坐標為﹣4，

當y=﹣4時，﹣ x2﹣x+4=﹣4，解得x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ，

∴M點的坐標為（﹣1+ ，﹣4）或（﹣1﹣ ，﹣4）

（3）解：如圖，

設(shè)D（t，﹣ t2﹣t+4）（t＜﹣1）

∵DE=2DG，

∴﹣1﹣t=﹣（﹣ t2﹣t+4），

整理得t2+4t﹣6=0，解得t1=﹣2﹣ ，t2=﹣2+ ，

∴D（﹣2﹣ ，﹣1﹣ ）．

【解析】（1）B點在拋物線上，故此點B的坐標符合拋物線的函數(shù)解析式，將點B的坐標代入函數(shù)關(guān)系式可求得a的值；
（2）將x=0代入拋物線的解析式求得對應的y的值，從而可得到點C的坐標，再利用三角形面積公式得到點M、C點到x軸的距離相等，即點M的縱坐標為-4，然后解方程-,x2-x+4=-4即可得到M點的坐標；
（3）設(shè)D（t，-t2-t+4）（t＜-1），利用DE=2DG和拋物線的對稱性得到關(guān)于t的方程，從而可求得t的值，故此可得到點D的坐標.