Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角系中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，A（8，0），B（0，6），點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AO以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用含t的代數(shù)式表示C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1，連接PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QC⊥AO交AB于點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ為等腰三角形？

（3）如圖2，以QC為直徑作⊙D，⊙D與AB的另一個(gè)公共點(diǎn)為E．問(wèn)是否存在某一時(shí)刻t，使得以BC、CE、AE的長(zhǎng)為邊的三角形為直角三角形？若存在，直接寫出一個(gè)符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）C（，）；（2）或或或；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理可求出AB=10，易證△AQC∽△AOB，由此可用t的代數(shù)式表示出QC、OQ的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．

（2）可分四種情況（圖a、圖b、圖c、圖d），只需用t的代數(shù)式表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)，然后建立方程，就可求出對(duì)應(yīng)t的值．

（3）先用t的代數(shù)式表示出BC、CE、AE的長(zhǎng)，可證AE＞CE，只需分兩種情況（BC為斜邊、AE為斜邊）進(jìn)行討論，運(yùn)用勾股定理建立方程，就可求出符合題意的t的值．

試題解析：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6．

∵∠AOB=90°，∴AB=10．

∵QC⊥AO，∴∠CQA=90°=∠BOA，∴QC∥OB，∴△AQC∽△AOB．

∴．

∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，∴，∴QC=，AC=．

∵OQ=OA﹣AQ=，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）．

（2）①如圖a，CP=CQ．

∵CP=AB﹣BP﹣AC=，CQ=，∴，解得：．

②如圖b，PC=PQ．

∵∠CQA=90°，∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．

∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC，∴∠AQP=∠QAC，∴PQ=PA，∴PC=PA，∴AC=2AP．

∵AC=，AP=，∴．解得：．

③如圖c，CQ=CP．

∵CQ=，CP=，∴，解得：．

④如圖d，QC=QP．

過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AC于點(diǎn)N，

則有PN=CN=PC=．

∵QC∥OB，∴∠QCN=∠OBA．

∵∠CNQ=∠BOA=90°，∴△CNQ∽△BOA，∴，∴CN•AB=OB•CQ，∴，

解得：．

綜上所述：當(dāng)t取或或或時(shí)，△CPQ是等腰三角形．

（3）如圖e，連接QE．

∵CQ是⊙D的直徑，∴∠CEQ=90°．∴∠QEA=90°=∠BOA．

∵∠EAQ=∠OAB，∴△QEA∽△BOA，∴．∴AE=．

∴CE=AC﹣AE=，BC=．

∵，∴AE＞CE．∴CE不可能是斜邊．

①BC為斜邊，

則有．∴，整理得：，

解得：，，∵，∴．

②AE為斜邊，

則有．∴．整理得：．

解得：，，∵，∴．

綜上所述：符合題意的t的值為或．

考點(diǎn)：1．圓的綜合題；2．解一元二次方程-公式法；3．等腰三角形的判定與性質(zhì)；4．相似三角形的判定與性質(zhì)．