Question

如圖，直角坐標系中，0是坐標原點，A，B，C三點的坐標分別是A（0，8），B（10，0），C（7，4），AD∥x軸，與直線BC交于點D，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿折線A-O-B的路線移動，移動的時間是t秒，設△ACP的面積是S．
（1）求BC所在直線的解析式，并求出點D的坐標；
（2）請求出S與t的函數(shù)關系，并指出自變量t的取值范圍；
（3）當t為何值時，以P，B，C三點構成的三角形是等腰三角形？

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）當0≤t≤8時，t在OA上時，利用三角形的面積公式求解；
當8＜t≤18時，P在OB上，作CE⊥x軸于點E，根據(jù)S=S_梯形AOEC-S_直角△AOP-S_直角△PCE求解；
（3）當點P在OA上時，PC=BC，當P在OB上時，分BP=BC和BP=BC三種情況進行討論．

解答：解：（1）設直線BC的解析式是y=kx+b，
則

10k+b=0 7k+b=4

，
解得：

k=- 4 3 b= 40 3

，
則直線BC的解析式是：y=-

4

3

x+

40

3

，
令y=8，則-

4

3

x+

40

3

=8，
解得：x=4，
則D的坐標是（4，8）；

（2）OA=8，當0≤t≤8時，t在OA上，
AP=t，則S=

1

2

AP•7=

7

2

x；
當8＜t≤18時，P在OB上，作CE⊥x軸于點E，則E的坐標是（7，0），CE=4，
則S_梯形AOEC=

1

2

（OA+CE）×OE=

1

2

（8+4）×7=42，
在直角△AOP中，OP=x-8，
則S_直角△AOP=

1

2

×8×（x-8）=4x-32，
直角△PCE中，PE=7-（8-x）=x-1，則S_直角△PCE=

1

2

（x-1）×4=2x-2．
則S=S_梯形AOEC-S_直角△AOP-S_直角△PCE=42-（4x-32）-（2x-2）=76-6x；

（3）BC=

(10-7)2+42

=5，
當P在OA上時，設P的坐標是（0，m），此時，CP=BC，則7²+（m-4）²=5²，方程無解；
當P在OB上時，若BP=BC=5時，OP=10-5=5，則t=8+5=13；
當P在OB上時，若PC=BC，設P的坐標是（n，0），則5²=（7-n）²+16，
解得：n=4或10（舍去）．則t=8+4=12．
總之，t=13或12時，以P，B，C三點構成的三角形是等腰三角形．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及三角形的面積的計算，正確分情況進行討論是關鍵．