Question

如圖所示，正方形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點，以EF為折線折疊正方形ABCD，B點落在AD上的B′處，C′為C的對應(yīng)點，B′C′與DC交于點G，正方形的邊長為2．
（1）若B′為AD的中點，求BE的長；
（2）若B′為動點，△DGB′的周長是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變化，請求出周長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EB′=EB，設(shè)BE=t，則AE=2-t，在Rt△AEB′中根據(jù)勾股定理得到（2-t）²+1²=t²，然后解方程得到t=

5

4

；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得EB′=EB，∠EB′C′=∠B=90°，設(shè)BE=t，則EB′=tAB′=x，AE=2-t，DB′=2-x，再證明Rt△AEB′∽Rt△DB′G，根據(jù)相似的性質(zhì)得

2-t

2-x

=

x

DG

=

t

B′G

，得到DG=

x(2-x)

2-t

，B′G=

t(2-x)

2-t

，然后計算△DGB′的周長=B′D+DG+B′G=2-x+

x(2-x)

2-t

+

t(2-x)

2-t

=

4-x2

2-t

，再在Rt△AEB′中根據(jù)勾股定理得到（2-t）²+x²=t²，變形得到x²=4t-4，接著進行分式的運算可得到△DGB′的周長為4．

解答：解：（1）∵B′為AD的中點，
∴AB′=1，
∵以EF為折線折疊正方形ABCD，B點落在AD上的B′處，
∴EB′=EB，
設(shè)BE=t，則AE=2-t，
在Rt△AEB′中，∵AE²+AB′²=EB′²，
∴（2-t）²+1²=t²，解得t=

5

4

，
即BE的長為

5

4

；
（2）△DGB′的周長不發(fā)生變化．
∵以EF為折線折疊正方形ABCD，B點落在AD上的B′處，
∴EB′=EB，∠EB′C′=∠B=90°，
設(shè)BE=t，則EB′=tAB′=x，AE=2-t，DB′=2-x，
∵∠AB′E+∠DB′G=90°，∠AB′E+∠AEB′=90°，
∴∠AEB′=∠DB′G，
∴Rt△AEB′∽Rt△DB′G，
∴

AE

DB′

=

AB′

DG

=

EB′

B′G

，即

2-t

2-x

=

x

DG

=

t

B′G

，
∴DG=

x(2-x)

2-t

，B′G=

t(2-x)

2-t

，
∴△DGB′的周長=B′D+DG+B′G
=2-x+

x(2-x)

2-t

+

t(2-x)

2-t

=（2-x）•

2-t+x+t

2-t

=

4-x2

2-t

，
在Rt△AEB′中，∵AE²+AB′²=EB′²，
∴（2-t）²+x²=t²，
∴x²=4t-4，
∴△DGB′的周長=

4-(4t-4)

2-t

=4．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和三角形相似的判定與性質(zhì)．