Question

如圖①，拋物線y=

1

2

x²+x-4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，與y軸的交點(diǎn)為C．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）如圖①，點(diǎn)Q是函數(shù)y=

1

2

x²+x-4的圖象在第三象限上的任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，設(shè)四邊形AQCB的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出m這何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？
（3）拋物線y=

1

2

x²+x-4的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)H，使△BCH的周長(zhǎng)最�。咳舸嬖�，請(qǐng)直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）如圖②，若點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，EF垂直平分BC交x軸于點(diǎn)F（-3，0），點(diǎn)P是拋物線y=

1

2

x²+x-4對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，請(qǐng)直接寫出∠PEC為鈍角三角形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令x=0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；令y=0，可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G，將四邊形AQCB分作△AQG、梯形GQCO、△OBC三部分，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)后，用m表達(dá)出上述三部分的面積和，即可得到關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的m的值．
（3）△BCH的周長(zhǎng)中，BC的長(zhǎng)是定值，若△BCH的周長(zhǎng)最短，那么BH+CH的長(zhǎng)最短；點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)H．
（4）此題需要考慮三種情況：①當(dāng)P為直線EF與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)t的值；②當(dāng)P為過(guò)點(diǎn)C且與直線BC垂直的直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)t的值；③當(dāng)P為Rt△PEC的直角頂點(diǎn)時(shí)t的值；結(jié)合圖形和上時(shí)三種情況來(lái)討論△PEC為鈍角三角形時(shí)t的取值范圍．

解答：解：（1）拋物線y=

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2

x²+x-4中，
令x=0，y=-4，即 C（0，-4）；
令y=0，

1

2

x²+x-4=0，解得：x₁=2、x₂=-4，即 A（-4，0）、B（2，0）．

（2）如右圖，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥x軸于G，則 Q（m，

1

2

m²+m-4），OG=-m，AG=0A=4-（-m）=4+m，QG=-

1

2

m²-m+4；
S=S_△AQG+S_梯形GQCO+S_△OBC
=

1

2

×（4+m）×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×（-

1

2

m²-m+4+4）×（-m）+

1

2

×2×4
=-m²-4m+12
=-（m+2）²+16，
∴當(dāng)m=-2時(shí)，S有最大值，且S_max=16．

（3）如右圖，點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以當(dāng)△BCH的周長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)H為直線AC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)；
設(shè)直線AC的解析式：y=kx+b，代入A（-4，0）、C（0，-4），有：

-4k+b=0 b=-4

，解得

k=-1 b=-4

∴直線AC：y=-x-4；
由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸：x=-

b

2a

=-1；
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=1-4=-3，即當(dāng)H（-1，-3）時(shí)，△BCH的周長(zhǎng)最�。�

（4）如右圖，分三種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P為直線EF與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)；
已知點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，則E（1，-2），又由F（-3，0），可求得：
直線EF：y=-

1

2

x-

3

2

，則P₁（-1，-1），t=-1；
②當(dāng)CP⊥BC，且P為CP與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)；
此時(shí)，CP₂∥EF，設(shè)直線CP₂：y=-

1

2

x+b，代入C（0，-4），得：
直線CP₂：y=-

1

2

x-4，則P₂（-1，-

7

2

），t=-

7

2

；
③當(dāng)CP₃⊥EP₃時(shí)，設(shè)P₃（-1，t），則：
EP₃²=（1+1）²+（-2-t）²=t²+4t+8，CP₃²=1+（-4-t）²=t²+8t+17，EC²=5；
在Rt△EP₃C中，EP₃²+CP₃²=EC²，即：
t²+4t+8+t²+8t+17=5，
化簡(jiǎn)，得：t²+6t+10=0，此方程無(wú)解，這種情況不成立；
綜上，當(dāng)t＞-1或t＜-

7

2

時(shí)，△ECP為鈍角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了：圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)與兩點(diǎn)間線段最短的綜合應(yīng)用、直角三角形以及鈍角三角形的特點(diǎn)等重要知識(shí)，涵蓋了二次函數(shù)綜合題中多類�？碱}型．最后一題中，找出△ECP是直角三角形時(shí)t的值（共三種情況）是解答題目的關(guān)鍵．