Question

已知關(guān)于x的方程x2-(m-2)x-

m2

4

=0．
（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；
（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂滿足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相應(yīng)的x₁，x₂．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題

分析：（1）先計(jì)算判別式得到△=（m-2）²-4×（-

m2

4

），再配方得到△=2（m-1）²+2，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得△＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=m-2，x₁•x₂=

m2

4

≥0，再去絕對(duì)值得到x₂=x₁+2或-x₂=-x₁+2，然后分類解方程組．

解答：（1）證明：△=（m-2）²-4×（-

m2

4

）
=2m²-4m+4
=2（m-1）²+2，
∵2（m-1）²≥0，
∴2（m-1）²+2＞0，即△＞0，
∴無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；

（2）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=m-2，x₁•x₂=

m2

4

≥0，
∵|x₂|=|x₁|+2，
∴x₂=x₁+2或-x₂=-x₁+2，
當(dāng)x₂=x₁+2時(shí)，而x₁+x₂=m-2，則x₂=

m

2

，x₁=

m

2

-2，所以

m

2

（

m

2

-2）=

m2

4

，解得m=0，則x₁=-2，x₂=0；
當(dāng)-x₂=-x₁+2時(shí)，而x₁+x₂=m-2，則x₁=

m

2

，x₂=

m

2

-2，所以

m

2

（

m

2

-2）=

m2

4

，解得m=0，則x₁=0，x₂=-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．