Question

13．定義感知：我們把頂點關于y軸對稱，且交于y軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點叫“孿生拋物線”的“共點”．如圖所示的拋物線y₁=x²+2x+2與y₂=x²-2x+2是一對“孿生拋物線”，其“共點”為點A．
初步運用：
（1）判斷下列論斷是否正確？正確的在題后橫線上打“√”，錯誤的則打“×”：
①“孿生拋物線”的“共點”不能分布在x軸上．×
②“孿生拋物線”y=（x-2）²-9與y=（x+2）²-9的“共點”坐標為（0，5）．√
（2）填空：拋物線y=-2x²-4x+5的“孿生拋物線”的解析式為y=-2x²-4x+5．
延伸拓展：在平面直角坐標系中，記“孿生拋物線”的兩頂點分別為M，M′，且MM′=4，其“共點”A與M，M′，O三點恰好構成一個面積為12的菱形，試求該“孿生拋物線”的解析式．

Answer 1

分析 初步運用：（1）由“孿生拋物線”的意義判斷即可，它們的共點在y軸，求出其坐標；
（2）由“孿生拋物線”的頂點關于y軸對稱，所以把解析式化成頂點式，求出其“孿生拋物線”；
延伸拓展：由于其“共點”A與M，M′，O三點恰好構成一個面積為12的菱形，且MM′=4，①開口向上時，求出M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），設出“孿生拋物線”把共點A（0，6）代入即可，②開口向下時，求出M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），設出“孿生拋物線”把共點A（0，-6）代入即可．

解答 解：初步運用：
（1）①∵把頂點關于y軸對稱，且交于y軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點叫“孿生拋物線”的“共點”．
∴“孿生拋物線”的“共點”能分布在x軸上，
②∵交于y軸上同一點的兩條拋物線叫做“孿生拋物線”，該點叫“孿生拋物線”的“共點”，
∴“孿生拋物線”的“共點”在y軸上，
②“孿生拋物線”y=（x-2）²-9與y=（x+2）²-9
∴令x=0，y=5，
∴共點（0，5）
故答案為×，√
（2）∵拋物線y=-2x²-4x+5=-2（x²+2x）+5=-2（x+1）²+7，
∴它的“孿生拋物線”為y=-2（x-1）²+7=-2（x²-2x+1）+7=-2x²+4x+5，
故答案為y=-2x²+4x+5；
延伸拓展：由題意得，“孿生拋物線”有下面兩種情況：
①當“孿生拋物線”的開口向上時，如圖1所示，

∵由于其“共點”A與M，M′，O三點恰好構成一個面積為12的菱形，且MM′=4，
∴$\frac{1}{2}$MM′×OA=12，
∴OA=6，
∴M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），
由此可設“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）²+3與y=a（x-2）²+3，
∵點A（0，6）在“孿生拋物線”的圖象上，
∴6=a×2²+3，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴“孿生拋物線”的解析式為：y=$\frac{3}{4}$（x+2）²+3與y=$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；
②當“孿生拋物線”的開口向下時，如圖2所示，

∵由于其“共點”A與M，M′，O三點恰好構成一個面積為12的菱形，且MM′=4，
∴$\frac{1}{2}$MM′×OA=12，
∴OA=6，
∴M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），
由此可設“孿生拋物線”的解析式為：y=a（x+2）²-3與y=a（x-2）²-3，
∵點A（0，-6）在“孿生拋物線”的圖象上，
∴-6=a×2²+3，
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴“孿生拋物線”的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3與y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義的理解和掌握，二次函數(shù)的性質，解決二次函數(shù)的方法一樣，解本題的關鍵是掌握“孿生拋物線”的定義．