Question

8．如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠DAC，點E是AC上一點，且AE=AD
（1）求證：AC⊥BD；
（2）若AB=6，cos∠CAB=$\frac{2}{3}$，求線段OE的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明DA=DC，推出四邊形ABCD是菱形即可解決問題．
（2）在Rt△OAB中，求出OA即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．

（2）解：在Rt△AOB中，
∵cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{3}$，AB=6，
∴OA=4，
∵AE=AD=AB=6，
∴OE=AE-OA=6-4=2．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．