Question

求實數(shù)x、y的值，使得（y-1）²+（x+y-3）²+（2x+y-6）²達到最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)最值問題

專題：

分析：首先假設(shè)a=y-1，b=x+y-3，c=2x+y-6，得出可得a-2b+c=-1，進而利用琴生不等式得出a²+b²+c²=a²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+c²≥

1

6

（a-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b+c）²，進而求出即可．

解答：解：a=y-1，b=x+y-3，c=2x+y-6，
可得a-2b+c=-1，
則原式=a²+b²+c²=a²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+

1

4

b²+c²≥

1

6

（a-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b+c）²=

1

6

（a-2b+c）²=

1

6

，
取等條件a=-

1

2

b=c，
即y-1=-

1

2

（x+y-3）=2x+y-6，

y-1=- 1 2 (x+y-3) y-1=2x+y-6

，
解得：

x= 5 2 y= 5 6

，
∴x=

5

2

，y=

5

6

，此時最小值

1

6

．

點評：此題主要考查了函數(shù)最值問題，利用琴生不等式得出a²+b²+c²≥

1

6

（a-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b-

1

2

b+c）²是解題關(guān)鍵．