Question

一數(shù)學(xué)研究小組探究了以下相關(guān)的兩個(gè)問題，請(qǐng)你也試試．
（1）如圖1，已知△ABC，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線．試探究∠A與∠BOC的度數(shù)之間的關(guān)系．
（2）如圖2，已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，點(diǎn)O′是△ABC外接圓的圓心．試探究∠BOC與∠BO′C的度數(shù)之間的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線得出∠1+∠2=

1

2

（180°-∠A），再根據(jù)∠1+∠2+∠BOC=180°即可得出結(jié)論；
（2）由點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，可知BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，由（1）知∠BOC=90°+

1

2

∠A，點(diǎn)O′是△ABC外接圓的圓心，故可得出∠A是圓心角∠BO′C所對(duì)的圓周角，故∠A=

1

2

∠BO′C，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∠BOC=90°+

1

2

∠A．
∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠1+∠2=

1

2

（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A；

（2）∠BOC=90°+

1

4

∠BO′C．
∵點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，
∴BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
由（1）知∠BOC=90°+

1

2

∠A，
∵點(diǎn)O′是△ABC外接圓的圓心，
∴∠A是圓心角∠BO′C所對(duì)的圓周角，
∴∠A=

1

2

∠BO′C． 
∴∠BOC=90°+

1

2

∠A=90°+

1

2

×

1

2

∠BO′C=90°+

1

4

∠BO′C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解答此類問題時(shí)往往用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱藏條件．