【題目】如圖,已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一點(diǎn),BD=2,E是BC上一動點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE,并作∠DEF=∠B,射線EF交線段AC于F.
(1)求證:△DBE∽△ECF;
(2)當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時,求線段BE的長;
(3)聯(lián)結(jié)DF,如果△DEF與△DBE相似,求FC的長.
【答案】(1)見解析;(2)2或3;(3)2或
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C,由三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到∠DEF=∠B,根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;
(3)當(dāng)∠BED=∠EDF,得到DF∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADF=∠B,∠AFD=∠C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CF=2;當(dāng)∠DFE=∠BED,推出點(diǎn)E在∠BDF與∠DFC的角平分線上,過E 作EM⊥AB于M,EN⊥AC于N,EG⊥DF于G,連接AE,得到AE是∠BAC的角平分線,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)∵AB=AC=6,
∴∠B=∠C,
∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠BED,∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠BED,
∵∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF,
∴△DBE∽△ECF;
(2)∵△DBE∽△ECF,
∴,
∵F是線段AC中點(diǎn),
∴CF=AC=3,
∴,
∴BE=2或3;
(3)∵△DEF與△DBE相似,
∴∠BED=∠EDF,或∠DFE=∠BED,
當(dāng)∠BED=∠EDF,
∴DF∥BC,
∴∠ADF=∠B,∠AFD=∠C,
∴∠ADF=∠AFD,
∴AD=AF=4,
∴CF=2;
當(dāng)∠DFE=∠BED,
∵△DBE∽△ECF,
∴∠BED=∠CFE,
∴∠DFE=∠CFE,∠BDE=∠FDE,
∴點(diǎn)E在∠BDF與∠DFC的角平分線上,
過E 作EM⊥AB于M,EN⊥AC于N,EG⊥DF于G,連接AE,
∴EM=EG=EN,
∴AE是∠BAC的角平分線,
∴BE=CE=,
∵△DBE∽△ECF,
∴,
即=,
∴CF=.
綜上所述,FC的長為2或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓O的直徑,O為圓心,AD、BD是半圓的弦,且∠PDA=∠PBD.延長PD交圓的切線BE于點(diǎn)E
(1)證明:直線PD是⊙O的切線.
(2)如果∠BED=60°,,求PA的長.
(3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF,點(diǎn)F正好在圓O上,如圖2,求證:四邊形DFBE為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為宣傳6月6日世界海洋日,某校九年級舉行了主題為“珍惜海洋資源,保護(hù)海洋生物多樣性”的知識競賽活動.為了解全年級500名學(xué)生此次競賽成績(百分制)的情況,隨機(jī)抽取了部分參賽學(xué)生的成績,整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計表(表1)和統(tǒng)計圖(如圖).請根據(jù)圖表信息解答以下問題:
(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了_____個參賽學(xué)生的成績;
(2)表1中a=_____;
(3)所抽取的參賽學(xué)生的成績的中位數(shù)落在的“組別”是_____;
(4)請你估計,該校九年級競賽成績達(dá)到80分以上(含80分)的學(xué)生約有_____人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣3ax+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)c直線y=﹣x+4經(jīng)過點(diǎn)B、C.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)A的直線y=kx+k交拋物線于點(diǎn)M,交直線BC于點(diǎn)N,連接AC,當(dāng)直線y=kx+k平分△ABC的面積,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)如圖2,把拋物線位于x軸上方的圖象沿x軸翻折,當(dāng)直線y=kx+k與翻折后的整個圖象只有三個交點(diǎn)時,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC,∠BAC=90°,BC=5,AC=2,以A為圓心、AB為半徑畫圓,與邊BC交于另一點(diǎn)D.
(1)求BD的長;
(2)連接AD,求∠DAC的正弦值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為.作軸的垂線,垂足為點(diǎn)從出發(fā),沿軸正方向以每秒個單位長度運(yùn)動;點(diǎn)從出發(fā),沿軸正方向以每秒個單位長度運(yùn)動;點(diǎn)從出發(fā),沿方向以每秒個單位長度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時,三點(diǎn)隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為.
(1)用含的代數(shù)式分別表示點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)若與以點(diǎn),,為頂點(diǎn)的三角形相似,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動,速度為;同時,動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿方向勻速運(yùn)動,速度為;當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動,另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn),運(yùn)動的時間是.過點(diǎn)作于點(diǎn),連接,.
(1)為何值時,?
(2)設(shè)四邊形的面積為,試求出與之間的關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻,使得若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;
(4)當(dāng)為何值時,?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分10分)(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A、D、E在同一直線上,連接BE,
填空:①∠AEB的度數(shù)為 ;
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)拓展探究
如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900, 點(diǎn)A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)解決問題如圖3,在正方形ABCD中,CD=.若點(diǎn)P滿足PD=1,且∠BPD=900,請直接寫出點(diǎn)A到BP的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,連接BD,且BD=CD,過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M,過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N,DN=3,在DB的延長線上取一點(diǎn)P,滿足∠ABD=∠MAP+∠PAB,則AP=( 。
A.4.5B.5.5C.6D.6.5
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