Question

在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證EG=CG且EG⊥CG．

（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想．
（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

（1）EG=CG，EG⊥CG．（2分）

（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
證明：延長FE交DC延長線于M，連MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四邊形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由圖（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF為等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG，
∴MG=

1

2

FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=

1

2

∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∵在△GFE與△GMC中，

FG=MG ∠F=∠GMC EF=CM

，
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）