Question

14．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD=AE，連接CE．

（1）發(fā)現(xiàn)問題
如圖①，當(dāng)點D在邊BC上時，
①請寫出BD和CE之間的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直；
②線段CE+CD=$\sqrt{2}$AC；
（2）嘗試探究
如圖②，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）拓展延伸
如圖③，當(dāng)點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，若BC=4，CE=2，求線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，證△BAD≌△CAF，推出CE=BD，CE⊥BD即可；
②結(jié)論：CE+CE=$\sqrt{2}$AC．由△ABC是等腰直角三角形，得到BC=$\sqrt{2}$AC，BC=BD+CD，由此即可得出結(jié)論；
（2）結(jié)論：CE=$\sqrt{2}$AC+CD，如圖2中，先證明△BAD≌△CAE，推出BD=CE即可，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題．
（3）根據(jù)SAS證△BAD≌△CAE，推出CE=BD即可，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE；
②結(jié)論：CE+CE=$\sqrt{2}$AC．
理由：由①得BD=CE，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，
∵BC=BD+CD=CE+CD，
∴CE+CD=$\sqrt{2}$AC；

（2）解：如圖2中，存在數(shù)量關(guān)系為：CE=$\sqrt{2}$AC+CD；
理由：由（1）同理可得
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
在等腰直角三角形ABC中，
BC=$\sqrt{2}$AC，
∴BD=BC+CD=$\sqrt{2}$AC+CD，
∴CE=$\sqrt{2}$AC+CD；

（3）解：由（1）同理
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CD=BC+BD=BC+CE．
∵BC=4，CE=2，
∴CD=6．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．