Question

如圖，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，P是△ABC內的任意一點，過點P作EF∥AB分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，作GH∥BC分別交AB，AC于點G，H，作MN∥AC分別交AB，BC于點M，N，試猜想：EF+GH+MN的值是多少？其值是否隨P位置的改變而變化？并說明你的理由．

Answer 1

考點：等邊三角形的判定與性質

專題：

分析：根據(jù)題意判定四邊形AMPE是平行四邊形，則根據(jù)平行四邊形的性質和等邊△AGH的性質將EF+GH+MN轉化為AM+GB+AM+MG+MG+GB=2（AM+MG+GB）=2AB=2x4=8．

解答：解：EF+GH+MN的值是8，其值不會隨P位置的改變而變化；
理由：∵P是△ABC內的任意一點，MN∥AC，EF∥AB，
∴四邊形AMPE是平行四邊形，
∴PE=AM．
同理PF=GB．
∴EF=PE+PF=AM+GB ①
∵△ABC是等邊三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵GH∥BC
∴∠AGH=∠B=60°，∠AHG=∠C=60°
∴△AGH是等邊三角形
∴GH=AG=AM+MG ②
同理MN=MB=MG+GB ③
①+②+③得
EF+GH+MN
=AM+GB+AM+MG+MG+GB
=2（AM+MG+GB）
=2AB=2x4=8
即EF+GH+MN=2AB=8．

點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的性質．根據(jù)已知條件判定四邊形AMPE是平行四邊形，△AGH的等邊三角形是解題的關鍵．