Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C，E為⊙O上的兩點，AC平分∠EAB，CD⊥AE于D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）過點C作CF⊥AB于F，如圖2，判斷CF和AF，DE之間的數量關系，并證明之；

（3）若AD-OA=1.5，AC=3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF2=AFDE；（3）.

【解析】

(1)連接OC，如圖1，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，則有AD⊥CD可判斷OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；

(2)連結CE，如圖2，根據角平分線的性質得CD=CF，再證明Rt△ACD≌△ACF得到AD=AF，接著證明Rt△DEC∽Rt△DCA，理由相似得性質得DE:DC=DC:DA，然后利用等線段代換即可得到CF2=DEAF；

(3)設⊙O的半徑為r，由AD=AF，AD-OA=1.5可得到OF=1.5，再證明Rt△ACF∽Rt△ABC，利用相似比可計算出r=3，接著在Rt△FCO中，利用余弦的定義可求出∠COB=60°，然后根據扇形的面積公式和等邊三角形面積公式和S陰影部分=S扇形BOC-S△BOC進行計算即可．

（1）解：連接OC，如圖1．

∵AC平分∠EAB，

∴∠1=∠2．

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：CF2=AFDE．理由如下：

連結CE，如圖2．

∵AC平分∠EAB，CD⊥AE，CF⊥AB，

∴CD=CF．

在Rt△ACD和△ACF中，，

∴Rt△ACD≌△ACF，

∴AD=AF．

∵四邊形CEAB內接于⊙O，

∴∠DEC=∠B．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠2=90°，∠1+∠ACD=90°，∠1=∠2，

∴∠DEC=∠ACD，

∴Rt△DEC∽Rt△DCA，

∴DE：DC=DC：DA，

∴DC2=DEDA，

∴CF2=DEAF；

（3）解：設⊙O的半徑為r．

∵AD=AF，而AD﹣OA=1.5，

∴AF=AD=OA+OF=r+1.5，∴OF=1.5．

∵∠CAB=∠FAC，

∴Rt△ACF∽Rt△ABC，

∴ =，即=，

解得：r=3或r=-（舍去）．

在Rt△FCO中，∵cos∠COF===，

∴∠COB=60°，

∴S陰影部分=S扇形BOC﹣S△BOC

=-×32=π-.

故答案為：（1）證明見解析；（2）CF2=AFDE；（3）.