Question

（2005•綿陽(yáng)）如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，BF交AD于點(diǎn)E，且BE•EF=32，AD=6．
（1）求證：AE=BE；
（2）求DE的長(zhǎng)；
（3）求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AF，根據(jù)圓周角定理求得；
（2）設(shè)DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，可列式為（6-x）（6+x）=32，由此求解；
（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，根據(jù)Rt△BDE中的勾股定理求解．
解答：（1）證明：連AF，AB，AC．因?yàn)锳是的中點(diǎn)，
∴∠ABE=∠AFB．
又∠AFB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB．
∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，AH⊥BC．
∴∠BAE=∠ACB．
∴∠ABE=∠BAE．
∴AE=BE．（3分）

（2）解：設(shè)DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，（4分）
則（6-x）（6+x）=32，
解得x=2，
即DE的長(zhǎng)為2；（5分）

（3）解：由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，
在Rt△BDE中，BD==．（7分）
點(diǎn)評(píng)：主要考查了相交弦定理，勾股定理，垂徑定理和圓周角定理的運(yùn)用．牢固掌握該定理可在綜合題型中靈活運(yùn)用．