Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
④當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），EF的最小值等于BC的一半．
上述結(jié)論中始終正確的有（　　）

• A、①④
• B、①②
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：利用旋轉(zhuǎn)的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對(duì)題中的結(jié)論逐一判斷．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠1=∠2，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，
∴AP=CP，
在△APE與△CPF中，

∠3=∠4 AP=CP ∠1=∠2

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正確；
②由△APE≌△CPF得到PE=PF，
∵∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正確；
③由△APE≌△CPF得到S_△APE=S_△CPF，則S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=

1

2

S_△ABC，故③正確；
④∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AB=

2

2

BC，
由②知，△EPF是等腰直角三角形，則EF=

2

EP．當(dāng)EP⊥AB時(shí)，EP去最小值，此時(shí)EP=

1

2

AB，則EF_最小值=

2

2

AB=

2

2

•

2

2

BC=

1

2

BC．故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③④，共有4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，難度適中．