Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，DF⊥AB于F．求證：四邊形BEDF是正方形．

Answer 1

答案：略
解析：

證法一：因為DE⊥BC于E，DF⊥AB于GF，∠ABC=90°， 所以∠DFB=∠ABC=∠DEB=90°． 所以四邊形BEDF是矩形， 所以BF∥DE(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)， 所以∠1=∠3． 因為BD是∠ABC的平分線，所以∠1=∠2， 所以∠2=∠3，所以BE=ED， 所以矩形BEDF是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)． 證法二：因為DE⊥BC于E，DF⊥AB于F， 所以∠BFD=∠DEB=90°． 因為∠ABC=90°， 所以DE∥AB，FD∥BC， 所以四邊形BEDF是平行四邊形． 所以∠1=∠3(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)． 因為BD是∠ABC的平分線， 所以∠1=∠2，∠2=∠3， 所以BE=ED(等角對等邊)， 所以BEDF是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)， 又因為∠ABC=90°， 所以菱形BEDF是正方形(有一個角為直角的菱形是正方形)．

提示：

由題設(shè)可得∠FBE=90°，∠BED=90°，∠DFB=90°，所以四邊形BEDF是矩形．再通過有一組鄰邊相等的矩形是正方形來證得結(jié)論或先證是菱形再證是正方形． 由于此題條件更適合先證四邊形BEDF是矩形，所以利用有一組鄰邊相等的矩形是正方形證更簡便一些．