Question

如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點(diǎn)，過A作AF⊥BE，交CD邊于F，M是AD邊上一點(diǎn)，且有BM=DM+CD．
（1）求證：點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；
（2）求證：∠MBC=2∠ABE．

Answer 1

（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，
∵AF⊥BE，
∴∠AOE=90°，
∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，
∴∠AEB=∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∴∠AEB=∠AFD，
∵∠BAD=∠D，AB=AD，
∴△BAE≌△ADF，
∴AE=DF，
∵E為AD邊上的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；

（2）證明：延長AD到G．使MG=MB．連接FG，F(xiàn)B，
∵BM=DM+CD，
∴DG=DC=BC，
∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，
∴△FDG≌△FCB（SAS），
∴∠DFG=∠CFB，
∴B，F(xiàn)，G共線，
∵E為AD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)，AD=CD
∴AE=CF，
∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF，
∵AG∥BC，
∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，
∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，
∴∠MBC=2∠ABE．
分析：（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根據(jù)AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可證出點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；
（2）延長AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，證△FDG≌△FCB，求出B，F(xiàn)，G共線，再證△ABE≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度．