Question

【題目】如圖，在ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，AE、BF交于點(diǎn)O，連接EF，OC．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，∠ABC=60°，求OC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）首先證明四邊形ABEF是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G．分別在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC∥AD，BC=AD．

∵E，F分別是BC，AD的中點(diǎn)，

∴BEBC，AFAD，

∴BE=AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵BC=2AB，

∴AB=BE，

∴平行四邊形ABEF是菱形．

（2）過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，如圖所示，

∵E是BC的中點(diǎn)，BC=2AB，

∴BE=CE=AB=4．

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，

∴BE=CE=AB=4，∠OBE=30°，∠BOE=90°，

∴OE=2，∠OEB=60°，

∴GE=1，OGGE，

∴GC=GE+CE=5，

∴OC2．