【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(﹣2,0).

(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸;

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=-x2+x+4,x=3;(2)C(0,4);y=x+4.(3)Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-).

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式,利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程;

(2)在拋物線解析式中,令x=0,可求出點(diǎn)C坐標(biāo);令y=0,可求出點(diǎn)B坐標(biāo).再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;

(3)本問為存在型問題.若ACQ為等腰三角形,則有三種可能的情形,需要分類討論,逐一計算,避免漏解.

(1)拋物線y=-x2+bx+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),

-×(-2)2+b×(-2)+4=0,

解得:b=,

拋物線解析式為 y=-x2+x+4,

y=-x2+x+4=-(x-3)2+,

對稱軸方程為:x=3.

(2)在y=-x2+x+4中,令x=0,得y=4,

C(0,4);

令y=0,即-x2+x+4=0,整理得x2-6x-16=0,解得:x=8或x=-2,

A(-2,0),B(8,0).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

把B(8,0),C(0,4)的坐標(biāo)分別代入解析式,得:

解得,

直線BC的解析式為:y=x+4.

拋物線的對稱軸方程為:x=3,

可設(shè)點(diǎn)Q(3,t),則可求得:

AC=

AQ=,

CQ=

i)當(dāng)AQ=CQ時,有=,

25+t2=t2-8t+16+9,

解得t=0,

Q1(3,0);

ii)當(dāng)AC=AQ時,有

t2=-5,此方程無實數(shù)根,

此時ACQ不能構(gòu)成等腰三角形;

iii)當(dāng)AC=CQ時,有,

整理得:t2-8t+5=0,

解得:t=4±

點(diǎn)Q坐標(biāo)為:Q2(3,4+),Q3(3,4-).

綜上所述,存在點(diǎn)Q,使ACQ為等腰三角形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-).

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/元

15

20

30

/件

25

20

10

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3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

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ab0a+b+c0;b+2c0a﹣2b+4c0;

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