Question

（2012•貴陽）如圖，在⊙O中，直徑AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，則
（1）BD的長是

2

；
（2）求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接AD，由于AC是⊙O的切線，所以AB⊥AC，再根據(jù)∠C=45°可知AB=AC=2，由勾股定理可求出BC的長，由于AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=90°，故D是BC的中點(diǎn)，故可求出BD的長度；
（2）連接OD，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D是△ABC的中位線，所以O(shè)D⊥AB，故

BD

=

AD

，所以

BD

與弦BD組成的弓形的面積等于

AD

與弦AD組成的弓形的面積，所以S_陰影=S_△ABC-S_△ABD，故可得出結(jié)理論．

解答：解：（1）連接AD，
∵AC是⊙O的切線，
∴AB⊥AC，
∵∠C=45°，
∴AB=AC=2，
∴BC=

AB2+AC2

=

22+22

=2

2

，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=

1

2

BC=

2

；

（2）連接OD，
∵O是AB的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD=1，
∴OD⊥AB，
∴

BD

=

AD

，
∴

BD

與弦BD組成的弓形的面積等于

AD

與弦AD組成的弓形的面積，
∴S_陰影=S_△ABC-S_△ABD=

1

2

AB•AC-

1

2

AB•OD=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=2-1=1．

點(diǎn)評：本題考查的是切線的性質(zhì)，涉及到三角形的面積、等腰三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理、圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．