Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B．
（1）畫出△ABC關于直線AC對稱的△AGC；（不要求寫畫法）
（2）在AG邊上找一點D，使得BD的中點E滿足CE=AD．請利用直尺和圓規(guī)作出圖形，并寫出你的簡要作圖步驟；（只能利用直尺畫直線不能測量線段長度）
（3）在（1）、（2）和未添加輔助線及其他字母的條件下，直接寫出圖中與∠ABC相等的角，要求該角以C點為頂點．

Answer 1

解：（1）所畫△AGC見圖．
（2）所畫圖形見圖．
作圖簡要步驟如下：
（1）作AC的垂直平分線，交AC于F點．
（2）連接BF并延長，交AG于D點．
（3）作BD的垂直平分線，交BD于E點，連接CE．
則D點和E點為所求．
（3）在（1）、（2）和未添加輔助線及其他字母的條件下，圖中以C點為頂點，且與∠ABC相等的角的是∠BCE．
分析：（1）延長BC到G，使CG=BG，然后連接AG即可；
（2）作AC的垂直平分線，交AC于F，連接BF并延長交AG于點D，再作BD的垂直平分線交BD于點E，連接CE，根據三角形的中位線定理，CE∥CD，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠DAC=∠ECF，∠ADF=∠CEF，然后利用“角角邊”可以證明△ADF和△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可知CE=AD；
（3）根據軸對稱性∠BAC=∠G，根據兩直線平行，同位角相等可得∠G=∠BCE，所以與∠ABC相等且以C為頂點的角是∠BCE．
點評：本題考查了復雜作圖，主要利用了軸對稱的性質，全等三角的判定與性質，熟記性質與判定并掌握線段垂直平分線的作法是解題的關鍵，本題難度較大．