Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，則tan∠ODA=

 

．

Answer 1

分析：如圖，因?yàn)椤螩=90°，易得AB=10；又因?yàn)椤袿為△ABC的內(nèi)切圓，易得四邊形OFCG是正方形，設(shè)半徑為x，列方程即可求得；進(jìn)一步設(shè)AE=y，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，即可求得y的值，則易得tan∠ODA．

解答：解：連接OE，OF，OG；
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴OG⊥BC，OF⊥AC，OE⊥AB，AF=AE，CF=CG，
∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°；
∵∠C=90°，
∴四邊形OFCG是矩形，
∵OG=OF，
∴四邊形OFCG是正方形；
設(shè)OF=x，則CF=CG=OF=x，AF=AE=6-x，BE=BG=8-x，
∴6-x+8-x=10，
∴OF=2，
∴AE=AF=AC-CF=4；
∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AD=

1

2

AB=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴tan∠ODA=

OE

DE

=2．

點(diǎn)評：此題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)．注意切線長定理．還要注意直角三角形的內(nèi)切圓中，如果連接過切點(diǎn)的半徑，可以得到一個正方形，借助于方程即可求得半徑的長．