Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求A點(diǎn)坐標(biāo)并求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存，請(qǐng)直接作出；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，利用對(duì)稱軸公式，可直接求出其對(duì)稱軸．
（2）本題須先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)BC兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=

5

2

對(duì)稱，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），求出m即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后代入即可求出拋物線解析式．
（3）分三種情況討論：①以AB為腰且頂角為∠A，②以AB為腰且頂角為角B，③以AB為底，頂角為角P時(shí)．

解答：解：（1）y=ax²-5ax+4，
對(duì)稱軸：x=-

-5a

2a

=

5

2

；

（2）經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），
BC∥x軸，所以B點(diǎn)縱坐標(biāo)也為4，
又∵BC兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=

5

2

對(duì)稱，
即：

(xB+0)

2

=

5

2

，
x_B=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（5，4）．
A點(diǎn)在x軸上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0），
將A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-

1

6

，
故函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．

（3）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)．如圖所示：

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要有用對(duì)稱軸公式求函數(shù)對(duì)稱軸方程，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等基礎(chǔ)知識(shí)，還結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)考查了點(diǎn)的存在性問(wèn)題，有一定的開(kāi)放性．在解題時(shí)要注意綜合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，靈活應(yīng)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．