Question

如圖，AB、CD是⊙O的弦，M、N分別為AB、CD的中點，且∠AMN=∠CNM．求證：AB=CD．

Answer 1

【答案】分析：連接OM，ON，OA，OC，先根據(jù)垂徑定理得出AM=AB，CN=CD，再由∠AMN=∠CNM得出∠NMO=∠MNO，即OM=ON，再由OA=OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM=CN，由此即可得出結(jié)論．
解答：證明：連接OM，ON，OA，OC，
∵M(jìn)、N分別為AB、CD的中點，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=AB，CN=CD，
∵∠AMN=∠CNM，
∴∠NMO=∠MNO，即OM=ON，
在Rt△AOM與Rt△CON中，
∵，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM=CN，
∴AB=CD．
點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．