Question

1．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF．若△BED的面積為28，△DFC的面積為21，求△DEF的面積．

Answer 1

分析 連接AD，首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠DAE，得出∠CDF=∠ADE，然后利用ASA證得DCF≌△ADE，得出CF=AE，DF=DE，得出BE=AF，再根據(jù)勾股定理可得出BE²+CF²=EF²，AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，運(yùn)用勾股定理求出EF，進(jìn)而求出DE、DF的值，代入S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE²進(jìn)行求解即可．

解答 解：連接AD，如圖所示：
∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠B=45°，∠DAE=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAE}\\{CD=AD}\\{∠CDF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ADE（ASA），
∴CF=AE，DF=DE，
∴BE=AF，
∵AF²+AE²=EF²，
∴BE²+CF²=EF²；
AE=CF=5，同理AF=BE=12，
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=5²+12²=169，
∴EF=13，
又∵由（1）知：△AED≌△CFD，
∴DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，
∴DE=DF=EF•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$，
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{169}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形面積的計(jì)算；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．