Question

如圖，PA、PB切⊙O于A、B，D是弧AB上任一點，過點D作⊙O的切線交PA、PB于點E、F．
（1）若PA=4，求△PEF的周長；
（2）若PE=13，PF=12，EF=5，你能求出⊙O的半徑嗎？

Answer 1

解：（1）∵EA，ED都是圓O的切線，
∴EA=ED，
同理FD=FB，PA=PB，
∴三角形PEF的周長=PE+PF+EF=PE+EA+PF+BF=PA+PB=2PA=8，
即三角形PDE的周長是8；
（2）
∵PE=13，PF=12．EF=5，
∴PF²+EF²=PE²=169，
∴△PEF
∴∠EFP=90°，
∵PA=PB=×△PEF周長故有PA=PB=（13+12+5）=15∴FB=PB-PF=15-12=3
∵∠EFP=∠FDO=∠FBO=90°，OD=OB，
∴四邊形ODFB為正方形，
∴OB=BF=3，
即⊙O的半徑是3．
分析：（1）可通過切線長定理將相等的線段進行轉換，得出三角形PDE的周長等于PA+PB的結論；
（2）由（1）的結論可求出PA，PB的長，利用勾股定理的逆定理可判定△PEF是直角三角形，再利用切線的性質即可證明四邊形DOBF是正方形，進而求出⊙O的半徑．
點評：本題考查的是切線長定理和勾股定理的逆定理以及正方形的判定和性質，對于切線長定理圖提供了很多等線段，分析圖形時關鍵是要仔細探索，找出圖形的各對相等切線長．