Question

已知拋物線y=x²+4ax+3a²（a＞0）
（1）求證：拋物線的頂點必在x軸的下方；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右邊），過A、B兩點的圓M與y軸相切，且點M的縱坐標(biāo)為

3

，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為P，拋物線與y軸交于點C，求△CPA的面積．

Answer 1

分析：（1）判定拋物線的頂點必在x軸的下方，根據(jù)開口方向，二次函數(shù)只要與x軸有兩個交點即可．
（2）利用垂徑定理，勾股定理可以求出
（3）利用三角形面積公式，以CD為底邊，P到y(tǒng)軸的距離為高，可以求出．

解答：（1）證明：拋物線y=x²+4ax+3a²開口向上，且a＞0
又△=（4a）²-4×3a²=4a²＞0
∴拋物線必與x軸有兩個交點
∴其頂點在x軸下方

（2）解：令x²+4ax+3a²=0
∴x₁=-a，x₂=-3a²
∴A（-a，0），B（-3a，0）
又圓M與y軸相切，
∴MA=2a
如圖在Rt△MAC中，MA²=NA²+NM²即（2a）²=a²+（

3

）²
∴a=±1（負(fù)值舍去）
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3

（3）解：P（-2，-1），A（-1，0），C（0，3）
設(shè)直線PA的方程：y=kx+b，則-1=-2k+b
0=-k+b
∴k=1
b=1
∴y=x+1，令x=0得y=1
∴D（0，1）
∴S_△CPA=S_△PCD-S_△CAD=

1

2

×2×2-

1

2

×2×1=1

點評：此題主要考查了根的判別式，以及二次函數(shù)與圓的綜合性題目，在思考是適應(yīng)注意，把所有已知條件全部用上，根據(jù)所得結(jié)論，才能求出．