【題目】如圖①,是一張直角三角形紙片,∠B90°AB12,BC8,小明想從中剪出一個(gè)以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過操作發(fā)現(xiàn),當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí),所得的矩形的面積最大.

1)請通過計(jì)算說明小明的猜想是否正確;

2)如圖②,在△ABC中,BC10,BC邊上的高AD10,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在邊AB、AC上,頂點(diǎn)Q、M在邊BC上,求矩形PQMN面積的最大值;

3)如圖③,在五邊形ABCDE中,AB16,BC20,AE10,CD8,∠A=∠B=∠C90°.小明從中剪出了一個(gè)面積最大的矩形(∠B為所剪出矩形的內(nèi)角),求該矩形的面積.

【答案】1)正確,理由見解析;(2)當(dāng)a5時(shí),S矩形MNPQ最大為25;(3)矩形的最大面積為180

【解析】

(1)設(shè)BF=x,則AF=12x,證明△AFE∽△ABC,進(jìn)而表示出EF,利用面積公式得出S矩形BDEF=﹣(x6)2+24,即可得出結(jié)論;

(2)設(shè)DE=a,AE=10a,則證明△APN∽△ABC,進(jìn)而得出PN=10a,利用面積公式S矩形MNPQ=﹣(a5)2+25,即可得出結(jié)果;

(3)延長BADE交于點(diǎn)F,延長BC、ED交于點(diǎn)G,延長AE、CD交于點(diǎn)H,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,連接IK,過點(diǎn)KKLBCL,由矩形性質(zhì)知AE=EH=10、CD=DH=8,分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDEAF=DH=8、CG=HE=10,從而判斷出中位線IK的兩端點(diǎn)在線段ABDE上,利用(1)的結(jié)論解答即可.

(1)正確;理由:

設(shè)BF=x(0x12),

AB=12,

AF=12x,

過點(diǎn)FFEBCACE,過點(diǎn)EEDABBCD,

∴四邊形BDEF是平行四邊形,

∵∠B=90°

BDEF是矩形,

EFBC

∴△AFE∽△ABC,

=

,

EF=(12x),

S矩形BDEF=EFBF=(12x)x=﹣(x6)2+24

∴當(dāng)x=6時(shí),S矩形BDEF最大=24

BF=6,AF=6,

AF=BF,

∴當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時(shí),所得的矩形的面積最大;

(2)設(shè)DE=a,(0a10),

AD=10,

AE=10a

∵四邊形MNPQ是矩形,

PQ=DE=a,PNBC

∴△APN∽△ABC,

=,

=,

PN=10a,

S矩形MNPQ=PNPQ=(10a)a=﹣(a5)2+25,

∴當(dāng)a=5時(shí),S矩形MNPQ最大為25;

(3)延長BA、DE交于點(diǎn)F,延長BC、ED交于點(diǎn)G,延長AE、CD交于點(diǎn)H,取BF中點(diǎn)I,FG的中點(diǎn)K,連接IK,過點(diǎn)KKLBCL,如圖③所示:

∵∠A=HAB=BCH=90°,

∴四邊形ABCH是矩形,

AB=16,BC=20,AE=10,CD=8,

EH=10DH=8,

AE=EH、CD=DH

在△AEF和△HED中,

∴△AEF≌△HED(ASA),

AF=DH=8

BF=AB+AF=16+8=24,

同理△CDG≌△HDE

CG=HE=10,

BG=BC+CG=20+10=30,

BI=BF=12,

BI=1216

∴中位線IK的兩端點(diǎn)在線段ABDE上,

IK=BG=15,

由(1)知矩形的最大面積為BIIK=12×15=180

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下面的材料:

按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).排在第一位的數(shù)稱為第一項(xiàng),記為,排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng),記為,依此類推,排在第n位的數(shù)稱為第n項(xiàng),記為.所以,數(shù)列的一般形式可以寫成:,,

一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用d表示.如:數(shù)列13,5,7為等差數(shù)列,其中,,公差為

根據(jù)以上材料,解答下列問題:

(1)等差數(shù)列5,10,15,的公差d______,第5項(xiàng)是______

(2)如果一個(gè)數(shù)列,,,,,是等差數(shù)列,且公差為d,那么根據(jù)定義可得到:,,,

所以,

,

……

由此,請你填空完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:(______)d

(3)是不是等差數(shù)列,的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=ACBD平分∠ABC,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是(

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AB⊙O的直徑,AC是弦,直線EF經(jīng)過點(diǎn)CAD⊥EF于點(diǎn)D,∠DAC=∠BAC

1)求證:EF⊙O的切線;

2)若⊙O的半徑為2,∠ACD=30°,求圖中陰影部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=﹣x+1)(x9)與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),D為頂點(diǎn),連結(jié)AC,BC.點(diǎn)P是該拋物線在第一象限內(nèi)上的一點(diǎn).過點(diǎn)Py軸的平行線交BC于點(diǎn)E,連結(jié)APBC于點(diǎn)F,則的最大值為_______

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商店銷售 A、B 兩種品牌的彩色電視機(jī),A、B 兩種彩電的進(jìn)價(jià)每臺分別為2000 元、1600元.一 A、B 價(jià) 2700 元、2100 元,月 12000元.為了增加利潤,二月份營銷人員提供了兩種銷售策略:

策略一: A 種彩電每臺降價(jià)100元,B 種彩電每臺降價(jià)80元,估計(jì)月銷售量分別增長30%、40%;

策略二: A 種彩電每臺降價(jià) 150 元,B 種彩電每臺降價(jià) 100 元,估計(jì)月銷售量都增長50%

根據(jù)以上信息完成下列各題:

1)求一月份 A、B 兩種彩電的銷售量.

2)二月份這兩種策略是否能增加利潤?

3)二月份該商店應(yīng)該采用上述兩種銷售策略中的哪一種,方能使商店所獲得的利潤較多?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線軸正半軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),與軸交于點(diǎn)

1)利用直尺和圓規(guī),作出拋物線的對稱軸(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);

2)若是等腰直角三角形,且其腰長為3,求的值;

3)在(2)的條件下,點(diǎn)為拋物線對稱軸上的一點(diǎn),則的最小值為________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了豐富同學(xué)們的課余生活,某學(xué)校舉行親近大自然戶外活動(dòng),現(xiàn)隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行主題為你最想去的景點(diǎn)是?的問卷調(diào)查,要求學(xué)生只能從(植物園)、(動(dòng)物園)、(濕地公園)、(岳麓山)四個(gè)景點(diǎn)中選擇一個(gè),根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

1)這次問卷調(diào)查的人數(shù)是_________人;

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)計(jì)算所在扇形的圓心角度數(shù)為_________

4)若該學(xué)校共有3000名學(xué)生,則估計(jì)該校最想去岳麓山的學(xué)生約為_________人.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2019年“519(我要走)全國徒步日(江夏站)”暨第六屆“環(huán)江夏”徒步大會519日在美麗的花山腳下降重舉行.組委會(活動(dòng)主辦方)為了獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)中取得了好成績的參賽選手,計(jì)劃購買共100件的甲、乙兩種紀(jì)念品發(fā)放.其中甲種紀(jì)念品每件售價(jià)120元,乙種紀(jì)念品每件售價(jià)80.

1)如果購買甲、乙兩種紀(jì)念品一共花費(fèi)了9600元,求購買甲、乙兩種紀(jì)念品各是多少件?

2)設(shè)購買甲種紀(jì)念品件,如果購買乙種紀(jì)念品的件數(shù)不超過甲種紀(jì)念品的數(shù)量的2倍,并且總費(fèi)用不超過9400.問組委會購買甲、乙兩種紀(jì)念品共有幾種方案?哪一種方案所需總費(fèi)用最少?最少總費(fèi)用是多少元?

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