Question

2．已知：如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC
（1）若∠AEF=∠B，寫出圖中存在的相似三角形；
（2）若AF=2，AB=6，EF=3．①求AD的長；②求DE的長；③求BC的長．

Answer 1

分析 （1）由“平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”與“兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似”判定圖中的相似三角形．
（2）應用相似三角形的性質求解．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵EF∥DC，
∴△AFE∽△ADC，
∵DE∥BC，EF∥DC
∴∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，
又∠AEF=∠B，
∴∠B=ECD=∠EDF，∠∠DFE=∠BDC=∠CED
∴△FED∽△EDC∽△DCB
即：圖中共有5對相似三角形：△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，△FED∽△EDC∽△DCB
（2）∵由（1）可知：△AFE∽△ADC，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{DC}=\frac{2}{3}$，設公比為x，則：AD=2x，DC=3x
∴BD=6-2x，DF=2x-2．
①又（1）知：△FDE∽△DBC
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{EF}{CD}$，即：$\frac{2x-2}{6-2x}=\frac{3}{3x}$
解之得：x=$\sqrt{3}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$
②由（1）知：△EDF∽△DCE，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{EF}{DE}$
∴DE²=EF•CD=3CD=9$\sqrt{3}$
DE=3$\sqrt{\sqrt{3}}$．即：DE=3$\root{4}{3}$
③又（1）知：△ADE∽△ABC
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即：$\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{\sqrt{3}}}{BC}$
∴BC=3$\root{4}{27}$

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質等問題，問題（1）仔細分析防止遺漏是關鍵．（2）中計算時要應用分數(shù)指數(shù)冪運算．