Question

7．如圖，AB為△ABC外接圓⊙O的直徑，點(diǎn)P是線段CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在圓上且滿(mǎn)足PE²=PA•PC，連接CE，AE，OE，OE交CA于點(diǎn)D．
（1）求證：△PAE∽△PEC；
（2）求證：PE為⊙O的切線；
（3）若∠B=30°，AP=$\frac{1}{2}$AC，求證：DO=DP．

Answer 1

分析 （1）利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似即可；
（2）連接BE，轉(zhuǎn)化出∠OEB=∠PCE，又由相似得出∠PEA=∠PCE，從而用直徑所對(duì)的圓周角是直角，轉(zhuǎn)化出∠OEP=90°即可；
（3）構(gòu)造全等三角形，先找出OD與PA的關(guān)系，再用等積式找出PE與PA的關(guān)系，從而判斷出OM=PE，得出△ODM≌△PDE即可．

解答 解：（1）∵PE²=PA•PC，
∴$\frac{PE}{PA}=\frac{PC}{PE}$，
∵∠APE=∠EPC，
∴△PAE∽△PEC；
（2）如圖1，

連接BE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠OBE=∠PCE，
∴∠OEB=∠PCE，
∵△PAE∽△PEC，
∴∠PEA=∠PCE，
∴∠PEA=∠OEB，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠OEB+∠OEA=90°，
∵∠PEA+∠OEA=90°，
∴∠OEP=90°，
∵點(diǎn)E在⊙O上，
∴PE是⊙O的切線；
（3）如圖，

過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于M，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC，
∵BC⊥AC，
∴OM∥BC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOM=30°，
∴OM=$\sqrt{3}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，
∵AP=$\frac{1}{2}$AC，
∴OM=$\sqrt{3}$AP，
∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，
∴PE²=PA×PC=PA×3PA，
∴PE=$\sqrt{3}$PA，
∴OM=PE，
∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，
∴△ODM≌△PDE，
∴OD=DP．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，全等三角形的判定和學(xué)生，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，難點(diǎn)是找OD=PE．