Question

7．如圖，△ABC中，AB=AC，以邊BC為直徑的⊙O與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作⊙O的切線DE，使DE⊥AC于E．
（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）過點E作EH⊥BC，垂足為點H，連接FH，若BC=4，求FH的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD．由切線的性質(zhì)可知OD⊥DE，接下來可證明OD∥AC，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證明∠OBD=∠ODB，依據(jù)等量代換可得到∠A=∠OBD，于是可證明AC=BC，然后結(jié)合已知條件可證明△ABC是等邊三角形．
（2）連接BF，作FG⊥BC于點G，連接DC．由直徑所對的圓周角是90°證明BF⊥AC，DC⊥AB，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到AD=BD=AF=FC=2，然后再在△FCG中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得FG、CG的長，接下來證明DE∥BF，依據(jù)平行線分線段成比例定理可得到AE=EF=1，于是在△EHC中依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得CE=3，CH=1.5，最后在△HFG中，依據(jù)勾股定理可求得HF的長．

解答 解：（1）證明：如圖1所示：連接OD．

∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE．
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC．
∴∠A=∠ODB．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∴∠A=∠OBD．
∴AC=BC．
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC．
∴△ABC是等邊三角形．
（2）解：連接BF，作FG⊥BC于點G，連接DC．

∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BFC=90°．
∵△ABC為等邊三角形，
∴CF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=2．
同理；BD=AD=2．
∵∠C=60°，∠FGC=90°，
∴FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$FC=$\sqrt{3}$，CG=$\frac{1}{2}$FC=1．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF．
∴AE=EF=1．
∴CE=3，CH=1.5．
∴HG=$\frac{1}{2}$．
在Rt△FGH中，由勾股定理可得FH=$\sqrt{F{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、平行線分線段成比例定理、勾股定理的應(yīng)用，求得FG和HG的長是解題的關(guān)鍵．