Question

5．如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點D，交AB于點M，有下面4個結(jié)論：
①射線BD是∠ABC的角平分線；
②△BCD是等腰三角形；
③∠A=∠CBD；
④△AMD≌△BCD．
（1）判斷其中正確的結(jié)論是哪幾個？
（2）從你認為是正確的結(jié)論中選一個加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)進行判斷即可；
（2）利用（1）的結(jié)論解答即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的中垂線，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，即射線BD是∠ABC的角平分線，①正確；
∵∠CBD=36°，∠ACB=72°，
∴∠BDC=72°，
∴∠ACB=∠BDC，即△BCD是等腰三角形，②正確；
∠A=∠CBD=36°，③正確；
△AMD是直角三角形，△BCD是銳角三角形，
∴△AMD與△BCD不全等，④錯誤，
正確的結(jié)論是①②③；
（2）射線BD是∠ABC的角平分線，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵MN是AB的中垂線，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，即射線BD是∠ABC的角平分線．

點評 本題考查的是等腰三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．