Question

如圖，CE、CB是半圓O的切線，切點分別為D、B，AB為半圓O的直徑．CE與BA的延長線交于點E，連接OC、OD．
（1）求證：△OBC≌△ODC；
（2）若已知DE=a，AE=b，BC=c，請你思考后，從a，b，c三個已知數中選用適當的數，設計出計算半圓O的半徑r的一種方案：
①方案中你選用的已知數是______；
②寫出求解過程（結果用字母表示）．

Answer 1

【答案】分析：解：（1）CD、CB是半圓O的切線根據切線的性質知，∠0DC=∠0BC=90°，又由于半徑OP=半徑OB，公共邊OC=OC，由HL判定△OBC≌△ODC；
（2）在Rt△ODE中，由勾股定理，得OD²+DE²=OE²即a²+r²=（b+r）²，a²=b²+2br．解得r=，故可選用已知數為a、b．
解答：（1）證明：CD、CB是半圓O的切線，
∴∠0DC=∠0BC=90°．
又∴0D=0B，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC（HL）．

（2）解：（此題答案不唯一）
①方案中選用的已知數是a、b；
②在Rt△ODE中，由勾股定理，得a²+r²=（b+r）²
∴a²=b²+2br．r=；
①選用a、b、c，在Rt△BCE中用勾股定理得：r=；
②選用a、b、c，由Rt△0DE∽Rt△cBE得，；
③選用a、b、c，由連接AD，可證AD∥OC，得r=bc/a；
④若選a、c，可得r=．
點評：本題利用了切線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理求解，注意第（2）小題的答案不唯一．