Question

【題目】定義：如果M個不同的正整數(shù)，對其中的任意兩個數(shù)，這兩個數(shù)的積能被這兩個數(shù)的和整除，則稱這組數(shù)為M個數(shù)的自然數(shù)組，如（3，6）為兩個數(shù)的自然數(shù)組，因為（3×6）能被（3+6）整除；又如（15，30，60）為三個數(shù)的自然數(shù)組，因為（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…

（1）求證：2n和n（n﹣2）（n≥3，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是兩個數(shù)的自然數(shù)組；

（2）若（4a，5a，6a）是三個數(shù)的自然數(shù)組，求滿足條件的三位正整數(shù)a，并判斷（4a+5，5a+5，6a+5）是否為自然數(shù)組．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）不是，理由詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)祖沖之?dāng)?shù)組的定義，即可解決問題；（2）首先根據(jù)定義判斷出a是5，9，11的公倍數(shù)，由此即可解決問題．

（1）∵2nn（n-2）=2n2（n-2），而2n+n（n-2）=n2

且：2n2（n-2）能被n2整除，

∴2n和n（n-2）（n≥3，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是兩個數(shù)的自然數(shù)組．

（2）∵(4a,5a,6a)是三個數(shù)的自然數(shù)組，

∴，，都是整數(shù)，

∴a是5、9、11的公倍數(shù)，

∴5911=495，4952=990，

∴滿足條件的三位正整數(shù)a為495或990.

同理：當(dāng)a=990時不能整除，

故(4a+5,5a+5,6a+5)不是自然數(shù)組.