Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接、．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為．求關(guān)于的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍，并求出的最大值；

（3）已知為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若是以為直角邊的直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值；（3），

【解析】

（1）由拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），將點(diǎn)C（0，3）代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；

（2）設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b．結(jié)合點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，再由點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m找出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的面積公式求出函數(shù)解析式，利用配方法將S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行變形，從而得出結(jié)論；

（3）先求出對(duì)稱軸，設(shè)M(1，y)，然后分分BM為斜邊和CM為斜邊兩種情況求解即可；

解：（1）∵拋物線與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），

又∵點(diǎn)C（0，3）在拋物線圖象上，

∴3=a×（0+1）×（0-3），解得：a=-1．

∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3．

∴拋物線解析式為；

（2）設(shè)直線的函數(shù)解析式為，

∵直線過點(diǎn)，，

∴，解得，

∴，

設(shè)，，

∴，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值；

（3）∵，

∴對(duì)稱軸為直線x=1，

設(shè)M(1，y)，

則CM2=1+(y-3)2=y2-6y+10，

BM2=y2+(1-3)2=y2+4，

BC2=9+9=18.

當(dāng)BM為斜邊時(shí)，

則y2-6y+10+18= y2+4，

解得

y=4，

此時(shí)M(1,4)；

當(dāng)CM為斜邊時(shí)，

y2+4+18= y2-6y+10，

解得

y=-2，

此時(shí)M(1，-2)；

綜上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，.