Question

17．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），E是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，始終保持∠ADE=∠B，則當(dāng)△DCE為直角三角形時(shí)，BD的長(zhǎng)為4或$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 因?yàn)椤螩為定角，D、E為動(dòng)點(diǎn)，所以△DCE為直角三角形有兩種情況：
①當(dāng)∠DEC=90°時(shí)，△DCE為直角三角形，如圖1，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)；
②當(dāng)∠EDC=90°時(shí)，△DCE為直角三角形，如圖2，作輔助線(xiàn)，根據(jù)外角定理和△BFA∽△BAD求出BD的長(zhǎng)．

解答 解：分兩種情況：
①當(dāng)∠DEC=90°時(shí)，△DCE為直角三角形，如圖1，
∴∠AED=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠DAC，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∴AD⊥BC，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4；
②當(dāng)∠EDC=90°時(shí)，△DCE為直角三角形，如圖2，
過(guò)A作AF⊥BC于F，則BF=4，
∵∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∠ADE=∠B，
∴∠EDC=∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BFA=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BFA∽△BAD，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BF}{AB}$，
∵AB=5，
∴$\frac{5}{BD}=\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{4}$，
綜上所述，BD為4或$\frac{25}{4}$，
故答案為：4或$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定，明確等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊，相似三角形常用的判定是：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，在幾何證明中常利用相似得比例式求邊的長(zhǎng)度；同時(shí)又運(yùn)用了外角定理求角相等；本題還運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想，尤其動(dòng)點(diǎn)形成的三角形是直角三角形或等腰三角形時(shí)，要根據(jù)具體問(wèn)題分情況進(jìn)行討論．