Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，AE=3，AC=9．求tan∠DBC的值．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：計算題

分析：先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得DE=DC，再證明Rt△BDE≌Rt△BDC得到BC=BE，設(shè)CD=x，則DE=x，DA=AC-CD=9-x，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得到3²+x²=（9-x）²，解得x=4，在Rt△ABC中得到9²+BC²=（BC+3）²，解得BC=12，然后在Rt△BCD中，利用正切的定義求解．

解答：解：∵BD平分∠ABC，
而DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，
在Rt△BDE和Rt△BDC中，

DE=DC BD=BD

，
∴Rt△BDE≌Rt△BDC，
∴BC=BE，
設(shè)CD=x，則DE=x，DA=AC-CD=9-x，
在Rt△ADE中，∵AE²+DE²=AD²，
∴3²+x²=（9-x）²，解得x=4，
在Rt△ABC中，∵AC²+BC²=AB²，
∴9²+BC²=（BC+3）²，
∴BC=12，
在Rt△BCD中，tan∠DBC=

CD

BC

=

3

12

=

1

4

．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．