Question

6．如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，請(qǐng)直接寫出BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）欲證明BD是⊙O的切線，只要證明∠OBD=90°，先四邊形AOBC是菱形，得OB∥AD，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解決問(wèn)題．
（2）連接OC，先證明△OBC，△OAC都是等邊三角形，在RT△BCD中利用30度性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C在⊙O上，
∴AO=AC，BO=BC，
∵AO=OB，
∴AO=OB=BC=CA，
∴四邊形AOBC是菱形，
∴AD∥OB，
∴∠D+∠OBD=180°，
∵BD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∵OB是⊙O的半徑，
∴DB是⊙O的切線．
（2）連接OC，由（1）可知四邊形AOBC是菱形，
∴OB=OC=BC=OA=AC，
∴△OBC，△OAC都是等邊三角形，
∴∠BCO=∠ACO=60°，
∴∠ACB=120°，
∴∠BCD=180°-∠ACB=60°，
在RT△BCD中，∵∠D=90°，BC=2，∠DBC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)，掌握切線的判定方法，屬于中考�？碱}型．