Question

17．如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=-x²+2mx（m＞0）與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)B．拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且縱坐標(biāo)為1．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，
①點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）B，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）；
②過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，交x軸于點(diǎn)N，求△MCN的面積；
（2）當(dāng)BC=2BM時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值；
（3）若m=$\sqrt{5}$，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，連接BP、BQ、MP、MQ，當(dāng)∠PMQ=3∠PBQ時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PBQ的面積的值．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程-x（x-4）=0，和用配方法確定頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）先用待定系數(shù)法確定出直線(xiàn)AB的解析式為y=-2x+8，再用平行且通過(guò)點(diǎn)M確定出直線(xiàn)MN的解析式，從而求出CN即可；
（3）設(shè)出PC先求出PB=$\sqrt{{a}^{2}+25}$PM=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，BR=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+25}$，再用△BRN∽△BCP，表示出BN，進(jìn)而得出MN，最后用角平分線(xiàn)定理建立方程即可．

解答 解：（1）①∵m=2，
∴y=-x²+4x=-x（x-4）=0，
∴x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴B（2，4），
∵點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且縱坐標(biāo)為1，
∴M（2，1），
故答案為A（4，0），B（2，4），M（2，1），
②如圖1，

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AB的解析式為y=-2x+8，
∵M(jìn)N∥AB，且過(guò)點(diǎn)M（2，1）
∴直線(xiàn)MN的解析式為y=-2x+5，
∵N在x軸上，
∴N（$\frac{5}{2}$，0），
∵C（2，0）
∴CN=$\frac{1}{2}$，
∵CM=1，
∴S_△MCN=$\frac{1}{2}$×CN×CM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$；
（2）∵拋物線(xiàn)y=-x²+2mx=-x（x-2m），
∵A（2m，0），
∵拋物線(xiàn)y=-x²+2mx=-（x-m）²+m²，
∴B（m，m²），C（m，0），
∵點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且縱坐標(biāo)為1，
∴M（m，1），
∴BC=m²，BM=|m²-1|，
∵BC=2BM，
∴m²=2|m²-1|，
∴m₁=$\sqrt{2}$，m₂=-$\sqrt{2}$（舍），m₃=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，m₄=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$（舍）；
∴m₁=$\sqrt{2}$，m₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）如圖2，

∵m=$\sqrt{5}$，
∴拋物線(xiàn)y=-x²+2mx=-（x-m）²+m²=-（x-$\sqrt{5}$）²+5，
∴B（$\sqrt{5}$，5），C（$\sqrt{5}$，0）
∴BC=5，MC=1，BM=4，
作∠BPM的平分線(xiàn)交BC于N，過(guò)點(diǎn)N作NR⊥AB，
∵∠PMQ=3∠PBQ，
∴∠BPN=∠MPN=∠PBC，
設(shè)PC=a，
∴PB=$\sqrt{{a}^{2}+25}$PM=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
∴BR=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+25}$
∵∠RBN=∠CBP，∠BRN=∠BCP，
∴△BRN∽△BCP，
∴$\frac{BN}{PB}=\frac{BR}{BC}$，
∴$\frac{BN}{\sqrt{{a}^{2}+25}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+25}}{5}$
∴BN=$\frac{{a}^{2}+25}{10}$，
∴MN=BM-BN=$\frac{15-{a}^{2}}{10}$，
∵PN是∠BPM的角平分線(xiàn)，
∴$\frac{BN}{MN}=\frac{PB}{PM}$，
∴$\frac{\frac{{a}^{2}+25}{10}}{\frac{15-{a}^{2}}{10}}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+25}}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
∴a=-$\frac{5\sqrt{7}}{7}$（舍）或a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$
∴PQ=$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×PQ×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{7}}{7}$×5=$\frac{25\sqrt{7}}{7}$
即：△PBQ的面積為=$\frac{25\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題二次函數(shù)綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式，確定交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，角平分線(xiàn)定理，解本題的關(guān)鍵是要熟練確定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．作出輔助線(xiàn)是解本題的難點(diǎn)．