Question

已知拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4），它與直線y₂=x+1的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在給出的坐標(biāo)系中畫出拋物線y₁=ax²+bx+c（a≠0）及直線y₂=x+1的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；
（3）設(shè)拋物線與x軸的右邊交點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線y₂=x+1于點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)S_△PAB≤4時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）確定出拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，依題意畫出函數(shù)的圖象．由圖象可以直觀地看出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；
（3）首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長度；設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則由S_△PAB≤4可以求出h的范圍，這是一個不等式，解不等式求出x_P的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線與直線y₂=x+1的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
∴交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2+1=3，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．
設(shè)拋物線的解析式為y₁=a（x-1）²+4，把交點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）代入得：
3=a（2-1）²+4，解得a=-1，
∴拋物線解析式為：y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）令y₁=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
即拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）和（-1，0），
在坐標(biāo)系中畫出拋物線與直線的圖形，如右圖，
根據(jù)圖象，可知使得y₁≥y₂的x的取值范圍為：-1≤x≤2；
（3）由（2）可知，點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0）．
令x=3，則y₂=x+1=3+1=4，
則點(diǎn)B坐標(biāo)為B（3，4），
即AB=4，
設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則
h=|x_P-x_A|=|x_P-3|，
S_△PAB=

1

2

AB•h=

1

2

×4×|x_P-3|=2|x_P-3|．
∵S_△PAB≤4，
∴2|x_P-3|≤4，化簡得：|x_P-3|≤2，
即-2≤x_P-3≤2，
解得：1≤x_P≤5，
又∵當(dāng)x=3時A、B、P不能構(gòu)成三角形，
∴x≠3，
∴當(dāng)S_△PAB≤4時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為1≤x_P≤5且x≠3．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積、解不等式（組）等知識點(diǎn)．題目難度不大，失分點(diǎn)在于第（3）問，點(diǎn)P在線段AB的左右兩側(cè)均有取值范圍，注意不要遺漏．