Question

如圖，平面直角坐標系中，A、B在x軸上，A（2，0）、B（8，0），點C為y軸上一動點，當∠ACB最大時，C點坐標為

 

．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),圓周角定理

專題：計算題

分析：根據(jù)圓周角定理，當過A、B兩點的⊙P與y軸正半軸相切于C時，∠ACB最大時，作PH⊥AB于H，連結(jié)PC、PA，如圖先得到OA=2，AB=6，根據(jù)垂徑定理得AH=BH=3，則OH=OA+AH=5，再利用切線的性質(zhì)得PC⊥y軸，則四邊形PHOC為矩形，所以OC=PH，PC=OH=5，在Rt△PAH中利用勾股定理計算出PH=4，則OC=4，所以C點坐標為（4，0），同理可得當⊙P與y軸的負半軸相切時，C點坐標為（-4，0）．

解答：解：當過A、B兩點的⊙P與y軸正半軸相切于C時，∠ACB最大時，
作PH⊥AB于H，連結(jié)PC、PA，如圖，
∵A（2，0）、B（8，0），
∴OA=2，AB=6，
∵PH⊥AB，
∴AH=BH=3，
∴OH=OA+AH=5，
∵⊙P與y軸相切，
∴PC⊥y軸，
∴四邊形PHOC為矩形，
∴OC=PH，PC=OH=5，
在Rt△PAH中，∵AH=3，PA=5，
∴PH=

PA2-AH2

=4，
∴OC=4，
∴C點坐標為（4，0），
當⊙P與y軸的負半軸相切時，C點坐標為（-4，0）．
故答案為（4，0）或（-4，0）．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關系．也考查了坐標與圖形性質(zhì)．