Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于A（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．以直線x＝﹣1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a＞0）經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．
（1）求一次函數(shù)及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與C、A不重合）過(guò)P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)D，連接CD，AD，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，當(dāng)n為多少時(shí)，△CDA的面積最大，最大面積為多少？

（3）在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)E，使∠ACB＝∠AEB？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x﹣2，；（2）時(shí)，△CDA的面積最大，最大面積是；（3）E1（﹣1，﹣），E2（﹣1，）．

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可直接求出一次函數(shù)解析式，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式即可求出二次函數(shù)解析式；

(2)用n可表示P點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)，則△CDA的面積為PDOA，得到關(guān)于n的二次函數(shù)表達(dá)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出面積的最大值；

(3)作△ABC的外接圓⊙M，⊙M與直線x＝﹣1位于x軸下方部分的交點(diǎn)為E1，E1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E2，則E1、E2均為所求的點(diǎn)，可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再由勾股定理求出FE1的長(zhǎng)，則點(diǎn)E1的坐標(biāo)可求出，由對(duì)稱(chēng)性可求得E2的坐標(biāo)．

(1)∵y＝﹣x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3，0)，

∴0＝2+m，解得m＝﹣2，

∴直線AC解析式為y＝﹣x﹣2，

∴C(0，﹣2)，

∵拋物線y＝ax2+bx+c對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1，且與x軸交于A(﹣3，0)，

∴另一交點(diǎn)為B(1，0)，設(shè)拋物線解析式為y＝a(x+3)(x﹣1)，

∵拋物線經(jīng)過(guò) C(0，﹣2)，

∴﹣2＝a3×(﹣1)，解得a＝，

∴拋物線解析式為y＝x2+x﹣2；

(2)如圖1，設(shè)P(n，-n-2)，D(n，n2+n﹣2)，

∴PD＝-n-2-(n2+n﹣2)= -n2-2n，

∴S△CDA=S△APD+S△PDC=PDOA=×3(-n2-2n)=-n2-3n=-(n+)2+，

∴n=時(shí)，△CDA的面積最大，最大面積是；

(3)如圖2，設(shè)直線x＝﹣1與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，作△ABC的外接圓⊙M，⊙M與直線x＝﹣1位于x軸下方部分的交點(diǎn)為E1，E1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E2，則E1、E2均為所求的點(diǎn)．

∵∠AE1B、∠ACB都是弧AB所對(duì)的圓周角，

∴∠AE1B＝∠ACB，且射線FM上的其它點(diǎn)E都不滿(mǎn)足∠AEB＝∠ACB．

∵圓心M必在AB邊的垂直平分線即直線x＝﹣1上．

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣1．

∵B(1，0)，C(0，﹣2)，

∴設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，解得，

直線BC的解析式為y＝2x﹣2，

∴直線BC的中垂線的解析式為y＝﹣x+m，由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，-1)，

∴m＝-，

∴直線BC的中垂線的解析式為y＝﹣x﹣，

∵點(diǎn)M在直線y＝﹣x﹣上，

∴y=﹣﹣=-，

∴M(-1，-)，

∴MA＝，

∴FE1＝=，

∴E1(﹣1，﹣)，

由對(duì)稱(chēng)性得E2(﹣1，)，

∴符合題意的點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1(﹣1，﹣)，E2(﹣1，)．