Question

如圖，已知P為⊙O外一點，PA、PB切⊙O于A、B兩點，PO=4cm，∠APB=60°，求陰影部分的周長與面積．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)定理求得∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式求得弧AB的長，根據(jù)三角形求得PA和PB的長，則陰影部分的周長即可求得；四邊形OABB的面積是△OPA的面積的2倍，然后減去扇形OAB的面積即可求得陰影部分的面積．

解答：解：連接OA、OB．
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=

1

2

∠APB=30°，
∴OA=

1

2

OP=2cm，∠AOB=120°，
∴PA=PB=OP•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm），
弧AB的長是：

120π×2

180

=

4π

3

（cm），
則陰影部分的周長是：2×2

3

+

4π

3

=4

3

+

4π

3

；
S_△OPA=

1

2

OA•PA=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
則S_{四邊形OAPB}=4

3

，
又S_扇形OAB=

120π×22

360

=

4π

3

，
則S_陰影=4

3

-

4π

3

（cm²）．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)定理以及扇形和弧長的計算公式，正確求得圓的半徑OA的長以及圓心角∠AOB的度數(shù)是關(guān)鍵．